ΜΙΑ ΑΠΛΗ ΜΔΘΟΓΟ ΓΙΑ ΣΗΝ ΔΤΡΔΗ ΣΗ ΔΛΑΥΙΣΗ ΔΝΔΡΓΔΙΑ ΚΑΙ ΣΗ ΒΑΙΚΗ ΚΑΣΑΣΑΗ ΟΡΙΜΔΝΩΝ ΠΟΛΤΩΝΤΜΙΚΩΝ ΓΤΝΑΜΙΚΩΝ Η κέζνδνο πνπ ζα ρξεζηκνπνηήζνπκε έρεη σο ζεκείν αθεηεξίαο ηε κάιινλ απιή παξαηήξεζε όηη ην γηλόκελν ηνπ ζπδπγή ελόο ηειεζηή κε ηνλ ηειεζηή είλαη εξκηηηαλόο ηειεζηήο κε κε αξλεηηθέο ηδηνηηκέο. Αο ην δείμνπκε. aˆ aˆ aˆ aˆ aˆ aˆ ν Έζησ â έλαο θαιά νξηζκέλνο γξακκηθόο ηειεζηήο. Σόηε ηειεζηήο aa ˆ ˆ είλαη εξκηηηαλόο. Δπνκέλσο έρεη πξαγκαηηθέο ηδηνηηκέο. Έζησ ηπραίν ηδηνδηάλπζκα ηνπ aa, ˆ ˆ κε ηδηνηηκή, δειαδή ˆˆ aa. Θα πάξνπκε ην εζσηεξηθό γηλόκελν ησλ δύν κειώλ ηεο ηειεπηαίαο εμίζσζεο κε ην ηδηνδηάλπζκα. Με άιια ιόγηα, ζα πξνβάιινπκε ηα δύν ίζα δηαλύζκαηα ηεο εμίζσζεο ζηνλ «άμνλα» πνπ νξίδεη ην ηδηνδηάλπζκα. Δπεηδή ν ηειεζηήο â δελ είλαη, ελ γέλεη, εξκηηηαλόο aˆ aˆ, είλαη θαιύηεξν λα ρξεζηκνπνηήζνπκε γηα ηνλ ζπκβνιηζκό (θαη ηνλ ρεηξηζκό) ηνπ εζσηεξηθνύ γηλνκέλνπ, ηνλ αξρηθό νξηζκό θαη όρη ηνλ ζπκβνιηζκό ηνπ Dirac (Bra-Ket), ν νπνίνο είλαη θηηαγκέλνο γηα ηνλ ρεηξηζκό εξκηηηαλώλ ηειεζηώλ θαη ζε δηαθνξεηηθή πεξίπησζε, όπσο εδώ, κπνξεί λα καο κπεξδέςεη. Θα έρνπκε ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ a a, a a, a, a, aˆ, aˆ aˆ Δπεηδή ην είλαη ηδηνδηάλπζκα, είλαη εμ νξηζκνύ γξακκηθά αλεμάξηεην, επνκέλσο δελ κπνξεί λα είλαη ην κεδεληθό δηάλπζκα, πνπ είλαη ην κόλν δηάλπζκα πνπ έρεη κέηξν κεδέλ. Άξα, νπόηε αλ δηαηξέζνπκε ηελ ηειεπηαία εμίζσζε κε ηνλ κε κεδεληθό (ζεηηθό) πξαγκαηηθό αξηζκό aˆ νη ηδηνηηκέο ηνπ, ζα πάξνπκε aa ˆ ˆ είλαη κε αξλεηηθέο. Παξαηεξήζηε όηη όηαλ (θαη κόλν όηαλ) aˆ, δειαδή όηαλ (θαη κόλν όηαλ) aˆ (ζπλζήθε ειάρηζηεο ηδηνηηκήο). Η ηδέα είλαη λα βξνύκε αλ κπνξνύκε έλαλ ηειεζηή â θαη λα γξάςνπκε ηε ρακηιηνληαλή ˆ pˆ H V xˆ (έλα ζσκαηίδην) ζηε κνξθή m ˆ H baˆ aˆ c, όπνπ b θαη c πξαγκαηηθή ζηαζεξά Σόηε, επεηδή ˆ H, aˆ aˆ, ηα ηδηνδηαλύζκαηα ηνπ aa ˆ ˆ είλαη ηα ηδηνδηαλύζκαηα ηεο ρακηιηνληαλήο, νπόηε αλ ηδηνδηάλπζκα ηνπ aa, ˆ ˆ ηδηνηηκήο, ζα είλαη Hˆ baˆ aˆ c baˆ aˆ c b c b c ε είλαη ηδηνθαηάζηαζε ελέξγεηαο E b c. Δπεηδή b θαη, όπσο δείμακε,, ζα είλαη E c, κε ην ίζνλ λα ηζρύεη αλ (θαη κόλν αλ) aˆ (ζπλζήθε ειάρηζηεο ελέξγεηαο).
Αλ ε εμίζσζε aˆ κάο δώζεη κηα θπζηθά απνδεθηή θαηάζηαζε, απηή ζα είλαη ε βαζηθή θαηάζηαζε ηεο ρακηιηνληαλήο καο θαη ε ειάρηζηε ελέξγεηα ζα είλαη Γηα λα εθαξκόζνπκε ηα πξναλαθεξζέληα, ζα πξέπεη λα βξνύκε ηνλ ηειεζηή â, ν νπνίνο ζα πξέπεη λα είλαη θαιά νξηζκέλνο, ώζηε λα είλαη θαιά νξηζκέλν, δειαδή κε αξλεηηθό, ην κέηξν ηνπ δηαλύζκαηνο â. E πγθξίλνληαο ηηο δύν κνξθέο ηεο ρακηιηνληαλήο, δειαδή ηηο ζρέζεηο ˆ pˆ H V xˆ θαη Hˆ baˆ aˆ c, γίλεηαη αληηιεπηό όηη aˆ aˆ xˆ, pˆ. Δπεηδή ε m pˆ εμάξηεζε ηεο ρακηιηνληαλήο από ηνλ ηειεζηή ηεο νξκήο είλαη πάληα ίδηα, m κπνξνύκε, ρσξίο λα «ζπζηάζνπκε πνιύ γεληθόηεηα», λα δνθηκάζνπκε aˆ d pˆ if xˆ f x ˆ εξκηηηαλόο ηειεζηήο, ή,, όπνπ d κηγαδηθή ζηαζεξά θαη f f ηζνδύλακα, â, ε ζπλάξηεζε x πξαγκαηηθή ζπλάξηεζε. Γηα λα είλαη θαιά νξηζκέλνο ν ηειεζηήο x πξέπεη λα είλαη κηα νκαιή ζπλάξηεζε, ρσξίο αλώκαια c. ζεκεία. Αλ ρξεζηκνπνηήζνπκε ηελ παξαπάλσ κνξθή γηα ηνλ ηειεζηή â θαη δνπιέςνπκε ζηελ αλαπαξάζηαζε ζέζεο, ζα πάξνπκε pˆ x * V x baˆ x aˆ x c bd pˆ x if xd pˆ x if x c m ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ b d p x if x p x if x c b d p x ip x f x if x p x f x c ˆ, p x f x i f x b d pˆ x i p ˆ x, f x f x c b d pˆ x i if x f x c b d pˆ x f x f x c Γειαδή p ˆ x V x b d p ˆ x b d f x f x c () m Οη ζπληειεζηέο ηνπ ηειεζηή ˆp x ζην δεμηό θαη ζην αξηζηεξό κέινο ηεο () πξέπεη λα είλαη ίζνη, επνκέλσο bd m (), απ όπνπ βιέπνπκε ακέζσο όηη b. md Αληηθαζηζηνύκε ηε () ζηελ () θαη παίξλνπκε V x f x f x c f x f x mv x c m m f x f x V x c Όκσο, όπσο δείμακε, E c (αλ ππάξρεη θπζηθά απνδεθηή θαηάζηαζε πνπ ηθαλνπνηεί ηε ζπλζήθε ειάρηζηεο ελέξγεηαο aˆ ). Δπνκέλσο, ε δηαθνξηθή εμίζσζε πνπ ηθαλνπνηεί ε f x γξάθεηαη
m f x f x V x E () Η () είλαη κηα κε γξακκηθή δηαθνξηθή εμίζσζε εο ηάμεο θαη αλήθεη ζε κηα θαηεγνξία εμηζώζεσλ πνπ νλνκάδνληαη δηαθνξηθέο εμηζώζεηο Riccati. Οη δηαθνξηθέο εμηζώζεηο Riccati γηα λα ιπζνύλ πξέπεη λα γλσξίδνπκε κηα εηδηθή ιύζε ηνπο. ε δηαθνξεηηθή πεξίπησζε δελ ππάξρεη κέζνδνο ιύζεο. Δπνκέλσο, δελ είλαη εύθνιν λα βξνύκε ηε ζπλάξηεζε V x. f x, άξα θαη ηνλ ηειεζηή â, από ην δπλακηθό Παξαηεξήζηε επίζεο όηη ζηελ () ππεηζέξρεηαη, σο άγλσζηε παξάκεηξνο, ε ειάρηζηε ελέξγεηα, ηελ νπνία ζέινπκε λα ππνινγίζνπκε, θαη απηό δπζθνιεύεη θη άιιν ηα πξάγκαηα. Απηό πνπ κπνξνύκε λα θάλνπκε είλαη λα πξνζπαζήζνπκε λα καληέςνπκε ηελ αλ ε κνξθή ηνπ δπλακηθνύ κάο ην επηηξέπεη. εκείσζε ηελ απόδεημε ηεο () ρξεζηκνπνηήζακε ηνλ κεηαζέηε pˆ x, f xi f x f x,. Η απόδεημε είλαη εύθνιε, αιιά αο ηελ θάλνπκε γηα ιόγνπο πιεξόηεηαο. Αλ ε x είλαη κηα ηπραία θπκαηνζπλάξηεζε, ηόηε, if xx if xx if xx i f xx p ˆ x f x x pˆ x f x x f x pˆ x x i f x x if x x Γειαδή p ˆ x, f x x i f xx Δπεηδή ε x είλαη ηπραία, ζα πξέπεη p ˆ x, f x i f x ηελ εηδηθή πεξίπησζε πνπ ˆ, ˆ ˆ, ˆ p x i x p i, f x x, ν κεηαζέηεο κάο δίλεη δειαδή παίξλνπκε ηνλ γλσζηό κεηαζέηε ζέζεο νξκήο. Θα ρξεζηκνπνηήζνπκε ηώξα ηελ πξνεγνύκελε κέζνδν γηα λα ππνινγίζνπκε ηελ ειάρηζηε ελέξγεηα θαη ηε βαζηθή θαηάζηαζε ηνπ δπλακηθνύ 6 9 x x Vx, l ml l l Σν l νξίδεη κηα θιίκαθα κήθνπο θαη θαζνξίδεη, ζε ηάμε κεγέζνπο, ηελ απόζηαζε όπνπ ην δπλακηθό γίλεηαη, από απσζηηθό, ειθηηθό. Πξέπεη λα βξνύκε ηε ζπλάξηεζε f x, ε νπνία, όπσο δείμακε, ηθαλνπνηεί ηε δ.ε. m f x f x V x E Αλ ιύζνπκε σο πξνο ην δπλακηθό, ζα πάξνπκε m m f x f x V x E V x E f x f x V x E f x f x V x f x f x E m m m m Σν δπλακηθό καο είλαη
6 9 x x 9 6 9 V x V x x x 8 6 ml l l ml ml Δπνκέλσο 9 6 9 x x f 8 6 x f x E ml ml m m () Από ηε κνξθή ηνπ δπλακηθνύ, ζα πξνζπαζήζνπκε λα καληέςνπκε ηε γεληθή κνξθή ηεο f x. f f x είλαη βαζκνύ n, ε f x είλαη βαζκνύ n, ελώ ε f x n n n. Σόηε, ε f x είλαη νπ Δπεηδή ην δπλακηθό είλαη πνιπσλπκηθό, ζα αλαδεηήζνπκε πνιπώλπκν. Αλ ε είλαη βαζκνύ n. Έηζη, ζα πξέπεη 6 9 βαζκνύ. Γηα λα πάξνπκε ηνλ δεύηεξν όξν ηνπ δπλακηθνύ ml έλαλ όξν x ζηελ f x ζα καο δώζεη έλαλ όξν f x, νπόηε ε x πνπ λα είλαη θη απηή 6 x, πξνζζέηνπκε 6 x, έλαλ όξν x θαη έλαλ όξν x πνπ ειπίδνπκε όηη, κε θαηάιιειε επηινγή ησλ ζπληειεζηώλ, ζα εμνπδεηεξώζεη ηνλ όξν x ηεο f x. Ο ζηαζεξόο όξνο ηεο f x ζα πξνζηεζεί ζηελ ειάρηζηε ελέξγεηα E θαη ζα καο δώζεη κεδέλ, αθνύ ην δπλακηθό καο δελ έρεη ζηαζεξό όξν. Δπνκέλσο f x ax bx. Θα έρνπκε f x a x b x abx 6 f x ax b Αληηθαζηζηνύκε ζηελ () θαη παίξλνπκε 9 6 9 6 x x 8 6 a x b x abx ax b E ml ml m m a 6 b ab a b x x x x E m m m m m 9 6 9 a 6 ab b a b x x x x x E 8 6 (5) ml ml m m m m Οη ζπληειεζηέο ησλ όξσλ ίδηνπ βαζκνύ πξέπεη λα είλαη ίζνη. Γηαηί; Γηαηί ηα n κνλώλπκα x, n,,,... είλαη γξακκηθά αλεμάξηεηα. Απηή, άιισζηε, ηελ ηδηόηεηα ρξεζηκνπνηνύκε όηαλ αλαπηύζζνπκε κηα ζπλάξηεζε ζε ζεηξά Maclaurin (ζεηξά Taylor κε θέληξν ην κεδέλ). Έηζη, ινηπόλ, ζα έρνπκε 9 a 9 a a 8 8 ml m l l Η ιύζε a νδεγεί ζε κε απνδεθηή βαζηθή θαηάζηαζε. l Η βαζηθή θαηάζηαζε πξνθύπηεη από ηε ζπλζήθε ειάρηζηεο ελέξγεηαο aˆ, ηελ νπνία ζα ιύζνπκε ζηελ αλαπαξάζηαζε ζέζεο.
Αναπαράσταση x θέσης aˆ x aˆ aˆ x x aˆ x x d pˆ x if x x d d i if x x x f x dx Η, σο ηδηνζπλάξηεζε, δελ κπνξεί λα είλαη ηαπηνηηθά κεδέλ. Έηζη, κπνξνύκε λα x δηαηξέζνπκε θαη ηα δύν κέιε ηεο ηειεπηαίαο εμίζσζεο κε x x x, θαη λα πάξνπκε x f x x f x Όκσο x ln x x Οπόηε f x f x f x dx ln x ln x dx x e x fx dx e (6) Η (6) κάο δίλεη ηε βαζηθή θαηάζηαζε αλ γλσξίδνπκε ηε ζπλάξηεζε f x. Η x, σο βαζηθή θαηάζηαζε, πξέπεη λα είλαη ηεηξαγσληθά νινθιεξώζηκε. Απηό ζεκαίλεη όηη ν πξώηνο όξνο ηνπ πνιπσλύκνπ f x ζα πξέπεη λα είλαη πεξηηηνύ βαζκνύ θαη λα έρεη αξλεηηθό ζπληειεζηή, δειαδή ζα πξέπεη λα είλαη ηεο κνξθήο a x, ώζηε n a n όηαλ νινθιεξσζεί, λα κάο δώζεη έλαλ όξν ηεο κνξθήο x, πνπ ηείλεη ζην n όηαλ x, επνκέλσο κεδελίδεη ην εθζεηηθό, άξα θαη ηελ θπκαηνζπλάξηεζε x f x είλαη νπ βαζκνύ.. ηελ πεξίπησζή καο ην πνιπώλπκν Έηζη, ινηπόλ, ε ιύζε a απνξξίπηεηαη, ελώ ε ιύζε a κάο θάλεη. l l Από ηε ζύγθξηζε ησλ ζπληειεζηώλ ησλ όξσλ κε x ζηελ (5), ζα πάξνπκε 9 ab b 9 b b 6 6 ml m l m ml l m l Σόηε, ν ζπληειεζηήο ηνπ x ζην δεμηό κέινο ηεο (5) γξάθεηαη 9 9 9 b a l l l l m m m Δπνκέλσο δελ ππάξρεη όξνο x, όπσο ζέιακε αθνύ ζην δπλακηθό δελ ππάξρεη όξνο x. Από ηε ζύγθξηζε ησλ όξσλ κεδεληθνύ βαζκνύ ζηελ (5), δειαδή ησλ ζηαζεξώλ όξσλ, ζα πάξνπκε b b E E m m ml Γειαδή, ε ειάρηζηε ελέξγεηα ηνπ δπλακηθνύ είλαη
E ml Έρεη ελδηαθέξνλ λα ζπγθξίλνπκε ηελ ειάρηζηε ελέξγεηα κε ηελ ειάρηζηε ηηκή ηνπ δπλακηθνύ, ε νπνία ιακβάλεηαη γηα 6 5 5 9 x x x x x x V x x x 6 ml l l l l l l δειαδή x, πνπ δελ είλαη αθξόηαην δηόηη κεδελίδεη θαη ηε ε παξάγσγν, ή x x x l l l Δπεηδή ην δπλακηθό είλαη ζπκκεηξηθό (άξηηα ζπλάξηεζε) 6 6 5 9 9 9 V l V l ml ml ml 9 6 6 V ml ml ml 6 Αλ, ηόηε E,5 θαη V 5,, δειαδή ε ml ειάρηζηε ηηκή ηνπ δπλακηθνύ είλαη πεξίπνπ ηξεηζήκηζη θνξέο κηθξόηεξε από ηελ ειάρηζηε ελέξγεηα. Η θπκαηνζπλάξηεζε ηεο βαζηθήο θαηάζηαζεο ππνινγίδεηαη από ηε ζρέζε (6), όπνπ ε f x είλαη f x ax bx x x l l Δπνκέλσο c dx x x e A c x e e x Ae x x x x l l l l l l Οη δύν ιύζεηο είλαη γξακκηθά εμαξηεκέλεο, ηηο ζπλδέεη ε ζηαζεξή κηγαδηθή θάζε i e, επνκέλσο πξέπεη λα δηαιέμνπκε ηε κία. Γηαιέγνπκε, απζαίξεηα, ηε ιύζε κε ην ζεηηθό πξόζεκν. Δπνκέλσο, ε θπκαηνζπλάξηεζε πνπ πεξηγξάθεη ηε βαζηθή 6 9 x x θαηάζηαζε ηνπ δπλακηθνύ Vx είλαη ε ml l l x Ae x x l l Η ζηαζεξά A ππνινγίδεηαη από ηε ζπλζήθε θαλνληθνπνίεζεο. Σπύρος Κωνσταντογιάννης Φσσικός, M.Sc. skonstan@hotmail.com